1、2018 全国研究生考试数学(一)真题 完整版 第 1 页第 2 页第 3 页第 4 页历年考研数学一真题 1987-2017 （答案 +解析）最近三年（ 2015-2017 ）2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一) 试卷一、选择题18 小题每小题4 分，共 32 分设函数()f x在(,)上连续，其二阶导数()fx的图形如右图所示，则曲线( )yfx在(,)的拐点个数为（ A）0（B）1（C）2（D）3【详解 】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0 x但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的
2、两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2 设21123()xxyexe是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程xyaybyce的一个特解，则（A）321,abc（B）321,abc（C）321,abc（D）321,abc【详解】线性微分方程的特征方程为20rarb，由特解可知12r一定是 特 征 方 程 的 一 个 实 根 如 果21r不 是 特 征 方 程 的 实 根 ， 则 对 应 于()xf xce的特解的形式应该为( )xQ x e， 其中()Q x应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以
3、21r也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得2132 12(),ab，同时*xyxe是原来方程的一个解，代入可得1c应该选（ A）若级数1nna条件收敛，则33,xx依次为级数11()nnnnax的（）收敛点，收敛点（）收敛点，发散点(）发散点，收敛点（）发散点，发散点【详解 】 注意条件级数1nna条件收敛等价于幂级数1nnna x在1x处条件收敛， 也就是这个幂级数的收敛为1，即11limnnnaa，所以11()nnnnax的收敛半径111lim()nnnnaRna， 绝对收敛域为0 2( , )， 显然33,xx依次为收敛点、发散点，应该选（B）第 5 页设 D 是第一象限中由曲
4、线21 41,xyxy与直线3,yx yx所围成的平面区域，函数( ,)f x y在 D 上连续，则( ,)Dfx y dxdy（）（）1321422sinsin( cos , sin )df rrrdr（）1231422sinsin( cos ,sin )df rrrdr（）1321422sinsin( cos , sin )df rrdr（）1231422sinsin( cos ,sin )df rrdr【详解 】积分区域如图所示，化成极坐标方程：2211212122sincossinsinxyrrr221141412222sincossinsinxyrrr也就是 D：43112sinsi
5、nr所以(,)Df x y dxdy1231422sinsin( cos ,sin )df rrrdr， 所以应该选 （B） 5设矩阵2211111214,Aabdad，若集合1 2,，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件是（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad【详解 】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(, )()()BA badadaadadaa方 程 组 无 穷 解 的 充 分 必 要 条 件 是3()(, )r Ar A b， 也 就 是120120()(),()()aadd同时成立，当然应该选（D
6、） 6设二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,Pe e e，若132,Qee e，则123(,)f x x x在xQy下的标第 6 页准形为（ A）2221232yyy（B）2221232yyy（ C）2221232yyy（ D）2221232yyy【 详 解 】132123100100001001010010,Qee ee e eP，100001010TTQP211TTTTfx Axy PAPyyy所以10001010TTQ AQP AP故选择（ A） 7若,A B为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P ABP A P B（ B）()()()P ABP A P B（C）2()()()P AP BP AB（D）2()()()P AP BP AB【详解】()(),()(),P AP ABP BP AB所以2()()()P AP BP AB故选择（ C） 8 设 随 机 变 量,X Y不 相 关 ， 且213,EXEYDX， 则2() )EXXY（）（A）3（B）3（C）5（D）5【详解】222225()()()()E X XY
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