1、2003年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1对任意n阶方阵A、B总有( )AAB=BA B|AB|=|BA| 2在下列矩阵中，可逆的是 ( ) 3设A是3阶方阵( )A-2 D24设A是mn矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) AA的行向量组线性无关 BA的行向量组线性相关 CA的列向量组线性无关 DA的列向量组线性相关5设有m维向量组，则 ( )A当mn时，(I)一定线性相关C当mn时，
2、(I)一定线性无关6已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )AAx=2x 8设矩阵的秩为2，则= ( )A2 81C0 D-l9二次型的矩阵是 ( ) 10二次型是 ( )A正定的 B半正定的C负定的 D不定的第二部分 非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错选、不填均无分。1 1行列式的值为_12设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为_13设=(
3、2，1，-2)，=(1，2，3)，则2=3=_14向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为_15设 mn矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为_16若线性方程组无解，则=_17设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_18设矩阵，则A的全部特征值为_19设P为n阶正交矩阵，、为n维列向量，已知内知(，)=-l，则(Pa，P)_ 20设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=_.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21设向量22设，矩阵X满足方程求矩阵X23当t取何值时，向量组线性相关?24求下列矩阵的秩：25设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解
4、(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)27设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A28设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围 四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30设向量可由向量组线性表示试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关参考答案一、单项选择题1B 2D 3B 4D 5A 6D 7C 8B 9.C 10.A二、填空题11O13(1,-4,-l3) 14115m l60174 181，1，-l19-l 20O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵故1，0-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论41知A可对角化，令矩阵由上式得28解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30证 由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数第 7 页
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