高等数学-K值法解决中值定理.doc

1、K 值法解决中值定理的问题1.设( )f x在 , a b上 具 有 连 续 的 二 阶 导 数 ， 求 证 ：( , )a b ， 使 得31( )() ()()( )224baa bf x dxb a fb af。2.设( )f x在 , a b上 二 阶 可 导 ， 求 证 ： 至 少 存 在 一 点( , )a b， 使 得3( )1( )()( )()212baf aff x dxb afb a（b)。3.设( )f x在 , a b上 连 续 ， 在( , )a b内 二 阶 可 导 ， 求 证 ：( , )a b ， 使 得2()( ) 2 ()( )( )24a bb af b

2、ff af。4.设( )f x在(0,1)上 存 在 三 阶 导 数 ，01ab. 证 明 ： 存 在( , )a b， 使 得31()( )( )()( )( )( )212baf bf abafafbf。5.设( )f x在 , a b上 二 阶 可 导 ， 证 明 ： 对 于( , )xa b 存 在( , )a b， 使 得1( )( )( )( )1( )2f xf af bf afx bx ab a。6.设函数( )f x在 , a b上可导，在( , )a b内二阶可导，若a c b ，证明：存在( , )a b，使得( )( )( )1( )()() ()() ()() 2f

3、af bf cfa b a cb a b cc a c b。7.设有实数12,.na aa，其中12.naaa ，函数( )f x在1 ,na a上有n阶导数，并满足12( )() .() 0nf af af a ,证明：对任意的1 ,nca a，都相应的有1( ,)na a，使得( )12()().()( )( )!nnc ac ac af cfn。上面 7 个小题均可用同一种方法证明，即 K 值法。下面证明 1,7，其余均可类似证明1 解：令3( )() ()21()24baabf x dxba fKba设31( )( )() ()()224xaaxg xf t dtxa fxaK则( )

4、( )0g ag b，所以由罗尔定理知存在一点0( , )xa b使得0()0g x。又21( )( )()()()2228axxaxag xf xffxaK所以2000001()()()()2228axxaxaf xffxaK在02axx处将( )f x展开泰勒展式，并令0 xx，得到2000001()()()()( )2228axxaxaf xffxaf其中00(,)( , )2axxa b，比较，得( )Kf。所以存在使得31( )() ()()( )224baa bf x dxb a fb af。7 解：当12,.nca aa，结论显然成立当12,.nca aa时，令12()().()( )!ncacacaf cKn设12()().()( )( )!nxaxaxag xf xKn12()().()( )0ng ag ag ag c用n次罗尔定理知，存在1( ,)na a，使得( )( )0ng，即( )( )nfK，所以命题成立。