1、 精密制造与自动化 2016年第2期 26 基于 LQR 最优调节器的平面二级倒立摆的 建模与仿真 姜岩蕾 史增芳(河南工业职业技术学院 河南南阳 473000)摘 要 倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统。通过研究分析平面二级倒立摆控制系统的数学模型，用线性二次型最优调节器（LQR），实现对二级倒立摆的最优控制，MATLAB仿真结果表明了该方法的有效性。关键词 最优控制器 倒立摆 最优控制 倒立摆是理想的自动控制教学实验设备，它能全方位地满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观地表
2、现出来1。由于倒立摆系统的高阶次、严重不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，吸引着许多学者和研究人员不断地从倒立摆控制中发掘新的控制策略和算法，文献2、3提出了基于模糊神经网络的倒立摆控制系统，该方法有效地克服了系统存在的非线性和不确定性，但该方法过分依赖人类直接控制被控对象的经验。文献4、5提出了倒立摆拟人控制方法，系统的稳定范围大，鲁棒性好，但控制率从定性到定量的转化较复杂。本文采用基于状态空间设计法的 LQR 最优调节器，较好地兼顾了系统的鲁棒稳定性和快速性。MATLAB 仿真结果表明了该方法的有效性。1 倒立摆系统数学建模及仿真倒立摆系统数学建模及仿真 倒立摆系统最终的控制目的是使倒立
3、摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之称为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。首先对摆杆进行空间几何建模。采用如图 1 所示的坐标，并定义如下参数：xM：X方向平台运动部分以及摆体支座质量；yM：Y 方向平台运动部分以及摆体支座质量；1l：摆杆 1 长度；2l：摆杆 2 长度；1m：摆杆 1 质量；2m：摆杆 2 质量；3m：两摆杆中间连接质量块的质量。图图 1 空间几何建模坐标空间几何建模坐标 对于第一节摆杆，根据几何知识有：121212tgtgtg （1）11212121111sincoscos11coscoslllxz （2）11212121111sincoscos11c
4、oscoslllyz（3）姜岩蕾 等 基于 LQR 最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真 27 在 摆 杆 垂 直 向 上 的 方 向 上，如 果 偏 角1,11，则可以近似的认为：111lllyzxz。因此，摆杆绕 X 轴和 Y 轴的转动惯量可以表示为：|12121111212111/JllJJJllJJyzyzxzxz （4）同理对第二摆杆可以得到：|22222222222222/JllJJJllJJyzyzxzxz （5）对于摆杆 2，由于编码器实际测量的角度为22,，而摆杆 2 在ZOX、ZOY 平面内的投影与 Z轴的夹角分别为2，2，有以下关系：|212212212 （6）在忽略空
5、气阻力及摩擦等因素后，可以将倒立摆系统看成平台、均匀杆和质量块组成，利用拉格朗日方程推导系统的动力学方程。由拉格朗日方程：),(),(),(.qqVqqTqqL （7）拉格朗日方程由广义坐标 qi和 L 表示为：iiiqLqLt.dd （8）)(21212222zyxmmvT是系统的动能，V 是系统的势能。则对于平面两级倒立摆系统，其广义坐标为：x，y，2211,，系统的总动能为：321mmmMTTTTT （9）321,mmmMTTTT分别计算如下：|.233233233322222222222222221211211211211122212121)(21212121)(21212121212
6、1zmymxmTJzmymxmTJzmymxmTyMxMTmmmyxM （10）系统的总势能为:gzMgzMgzMVVVVVmmmM332211321 （11）由于在广义坐标2211,上外力为 0，因此可以建立以下方程：|0dd0dd0dd0dd22.11.22.11.LLtLLtLLtLLt （12）由平衡位置初始条件 x,y,2211,.,yx,2.2.1.1.,.,yx都等于0，)1401;4,3,2,1(jikij取 极 限，于 是 有：,.072062051041030201xfkfkfkfkfkyfkxfkiiiiiiiiiiiiii.14.132.122.111.101.09.08,yfkxfkfkfkfkfkyfkiiiiiiiiiiiiii 精密制造与自动化 2016年第2期 28|000000000000000000000500000000400000000300000000000000000000000400000000300000000200yQQx|yyyyxxxxxXYukkXkkkkyyXXYukkXkkkkxxX100010001100000000000
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